Triángulo isósceles: propiedades, características y fórmulas.

Todo en un triángulo isósceles es hermoso: tres ángulos y dos caderas simétricas. Admiremos esta figura y al mismo tiempo aprendamos sus propiedades, signos y fórmulas para que podamos resolver problemas fácilmente.

Definición de un triángulo isósceles

¿Qué triángulo se llama isósceles?

Un triángulo isósceles es aquel en el que dos lados son iguales.

Veamos este triángulo:

La figura muestra claramente que los lados son iguales. Esta igualdad hace que el triángulo sea isósceles.

Así se llaman los lados de un triángulo isósceles:

AB y BC – lados laterales ,

AC es la base del triángulo .

Para entender el material, tendremos que recordar qué son la bisectriz, la mediana y la altura, en caso de que de repente lo hayas olvidado.

Una bisectriz es una recta cuyo origen es el vértice de un ángulo y divide este ángulo en dos ángulos iguales.

Presta atención a la imagen. En el triángulo isósceles presentado, la bisectriz será el segmento BH.

La mediana es un segmento que conecta el vértice de un triángulo con la mitad del lado opuesto.

En este triángulo, la mediana es el segmento BH.

La altura de un triángulo es la perpendicular que desciende desde el vértice del triángulo hasta el lado opuesto o hasta la recta que contiene el lado del triángulo.

La altura en el triángulo isósceles presentado es el segmento BH.

Signos de un triángulo isósceles

Aquí hay algunas reglas simples mediante las cuales es fácil determinar que frente a usted hay un triángulo isósceles.

1. Si un triángulo tiene dos ángulos iguales, entonces el triángulo es isósceles.
2. Si la altura de un triángulo coincide con su mediana trazada desde el mismo ángulo, entonces dicho triángulo es isósceles.
3. Si la altura de un triángulo coincide con su bisectriz trazada desde el mismo ángulo, entonces dicho triángulo es isósceles.
4. Si la bisectriz de un triángulo coincide con su mediana trazada desde el mismo ángulo, ¡entonces dicho triángulo es nuevamente isósceles!

Propiedades de un triángulo isósceles

Para comprender la esencia de un triángulo isósceles, debes pensar como un triángulo isósceles, convertirte en un triángulo isósceles y aprender 4 teoremas sobre sus propiedades.

Teorema 1. En un triángulo isósceles, los ángulos en la base son iguales.

Prueba del teorema:

Sea AC la base de un triángulo isósceles. Dibujemos la bisectriz DK. El triángulo ADK es igual al triángulo CDK en dos lados y el ángulo entre ellos (AD = DC, DK es común, y como DK es una bisectriz, el ángulo ADK es igual al ángulo CDK). De la igualdad de los triángulos se deduce que todos los elementos correspondientes son iguales, lo que significa que el ángulo A es igual al ángulo C. ¡Fácil!

Teorema 2: En un triángulo isósceles, la bisectriz trazada hacia la base es la mediana y la altitud.

1. Δ ABH = Δ CBH en dos lados y el ángulo entre ellos (los ángulos ABH y CBH son iguales, porque BH es una bisectriz, AB = BC, porque Δ ABC es isósceles, BH es un lado común).
2. Entonces, en primer lugar, AH = HC y BH es la mediana.
3. En segundo lugar, los ángulos BHA y BHC son iguales y también adyacentes, es decir, suman 180 grados. Esto significa que son iguales a 90 grados y BH es la altura.

Teorema 3: En un triángulo isósceles, la mediana trazada hasta la base es la bisectriz y la altitud.

1. Δ ABH = Δ CBH en tres lados (AH = CH son iguales, porque BH es la mediana, AB = BC, porque Δ ABC es isósceles, BH es el lado común).
2. Esto significa, en primer lugar, que los ángulos ABH y CBH son iguales y BH es una bisectriz.
3. En segundo lugar, los ángulos BHA y BHC son iguales y también adyacentes, es decir, suman 180 grados. Esto significa que son iguales a 90 grados y BH es la altura.

Teorema 4: En un triángulo isósceles, la altura trazada hasta la base es la bisectriz y la mediana.

1. Δ ABH = Δ CBH basado en triángulos rectángulos, igualdad de las hipotenusas y catetos correspondientes (AB = BC, porque Δ ABC es isósceles, BH es un lado común).
2. Esto significa, en primer lugar, que los ángulos ABH y CBH son iguales y BH es una bisectriz.
3. En segundo lugar, AH = HC y BH es la mediana.

Ejemplos de resolución de problemas

No hay nada más divertido que practicar y buscar ángulos y lados en un triángulo isósceles. Bueno… casi nada.

Problema uno. Dado ΔABC con base AC: ∠C = 80°, AB = BC. Encuentra ∠B.

Como ya está familiarizado con varios teoremas, no es ningún secreto para usted que los ángulos básicos de un triángulo isósceles son iguales y el triángulo ABC es isósceles, ya que AB = BC.

Esto significa ∠A = ∠C = 80°.

No debería sorprenderte que la suma de los ángulos de un triángulo sea 180°.

∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.

Respuesta: ∠B = 20°.

Problema dos. En el triángulo ABC, se dibuja la altura BH, el ángulo CAB es de 50° y el ángulo HBC es de 40°. Encuentra el lado BC si BA = 5 cm.

1. La suma de los ángulos de un triángulo es 180°, lo que significa que en Δ ABH podemos encontrar el ángulo ABH, que será igual a 180° − 50° − 90° = 40°.
2. Pero resulta que los ángulos ABH y HBC son ambos iguales a 40° y BH es una bisectriz.
3. Bueno, dado que BH es a la vez bisectriz y altura, entonces Δ ABC es isósceles, lo que significa BC = BA = 5 cm.

Respuesta: 5 cm.